Để tính cosin của góc giữa hai véc-tơ \(\mathbf{a}\) và \(\mathbf{b}\), ta sử dụng công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]

Trong đó:
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) là tích vô hướng của hai véc-tơ.
- \(|\mathbf{a}|\) và \(|\mathbf{b}|\) là độ dài của véc-tơ \(\mathbf{a}\) và \(\mathbf{b}\).

Từ đề bài, ta có:
- \(|\mathbf{a}| = 7\)
- \(|\mathbf{b}| = 12\)
- \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 13\)

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\), ta có:

\[
|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
13^2 = 7^2 + 12^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
\]

Tính các giá trị:

\[
169 = 49 + 144 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
\]

\[
169 = 193 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
\]

Giải phương trình:

\[
2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 169 - 193
\]
\[
2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -24 \implies \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -12
\]

Giờ áp dụng công thức tính cosin:

\[
\cos \theta = \frac{-12}{7 \cdot 12} = \frac{-12}{84} = -\frac{1}{7}
\]

Cuối cùng, để tính sin của góc, ta dùng:

\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
\[
\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}
\]
\[
\sin \theta = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}
\]

Vậy:

\[
\sin \theta = \frac{4\sqrt{3}}{7}
\]