Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = a, đường cao AB = 2a. Tính tích vô hướng

Để tính tích vô hướng \( \overrightarrow{B.A} \cdot \overrightarrow{D.B} + \overrightarrow{A.C} \cdot \overrightarrow{B.D} \), ta cần xác định tọa độ các điểm trong hình thang \( ABCD \).

Gọi:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(0, 2a) \)
- \( C(3a, 2a) \)
- \( D(a, 0) \)

Các vector:
- \( \overrightarrow{B.A} = A - B = (0, 0) - (0, 2a) = (0, -2a) \)
- \( \overrightarrow{D.B} = B - D = (0, 2a) - (a, 0) = (-a, 2a) \)
- \( \overrightarrow{A.C} = C - A = (3a, 2a) - (0, 0) = (3a, 2a) \)
- \( \overrightarrow{B.D} = D - B = (a, 0) - (0, 2a) = (a, -2a) \)

Tính tích vô hướng:
1. \( \overrightarrow{B.A} \cdot \overrightarrow{D.B} = (0, -2a) \cdot (-a, 2a) = 0 \cdot (-a) + (-2a) \cdot 2a = -4a^2 \)
2. \( \overrightarrow{A.C} \cdot \overrightarrow{B.D} = (3a, 2a) \cdot (a, -2a) = 3a \cdot a + 2a \cdot (-2a) = 3a^2 - 4a^2 = -a^2 \)

Cuối cùng:
\[
\overrightarrow{B.A} \cdot \overrightarrow{D.B} + \overrightarrow{A.C} \cdot \overrightarrow{B.D} = -4a^2 - a^2 = -5a^2
\]

Theo bài toán:
\[
-5a^2 = x \cdot a
\]
Giải phương trình để tìm \( x \):
\[
x = -5a
\]

Vậy \( x = -5 \).