Cho tam giác ABC đều  và điểm M thỏa mãn MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18. Khi đó tập hợp điểm M thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Gọi \( O \) là trọng tâm của tam giác đều \( ABC \). Ta biết rằng trong tam giác đều, trọng tâm là điểm có khoảng cách đều từ các đỉnh. Đặt cạnh của tam giác đều \( ABC \) là \( a \).

Sử dụng công thức cho tổng độ dài bình phương khoảng cách từ một điểm \( M \) đến các đỉnh của tam giác đều, ta có:

\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MO^2 + 3R^2
\]

Trong đó \( R \) là khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh (radial distance) của tam giác đều. Biết rằng \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Gọi \( d = MO \) là khoảng cách từ \( M \) tới trọng tâm \( O \). Khi đó công thức trở thành:

\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3d^2 + 3R^2
\]

Theo đề bài, ta có

\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18
\]

Vậy ta có

\[
3d^2 + 3R^2 = 18 \implies d^2 + R^2 = 6
\]

Khi \( d \) thay đổi, điểm \( M \) sẽ nằm trên một đường tròn tâm \( O \) với bán kính \( \sqrt{6 - R^2} \).

Do đó, để tìm bán kính, ta cần biết giá trị của \( R^2 \).

Với \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), ta có:

\[
R^2 = \frac{a^2}{3}
\]
Do đó, công thức trở thành:

\[
d^2 + \frac{a^2}{3} = 6 \implies d^2 = 6 - \frac{a^2}{3}
\]

Vậy nghiệm cho bán kính \( r \) là:

\[
r = \sqrt{6 - \frac{a^2}{3}}
\]

Ta có thể khẳng định rằng tập hợp điểm \( M \) thuộc một đường tròn có bán kính là \( R = \sqrt{6 - R^2} \), và bằng giá trị tính toán cho \( R \).

Cuối cùng, xác định giá trị luôn thỏa mãn cho \( a \) trong tam giác với \( a = 0 \) hay \( a \) lớn hơn một số nhất định như \( a = 6 \) thì bán kính đạt được là:

\[
\sqrt{6}
\]

Do đó, bán kính của đường tròn mà tập hợp điểm \( M \) thuộc về là:

\[
\sqrt{6}
\]

Đáp số cho vấn đề là **\( r = \sqrt{6} \)**.