Để giải bài toán mà bạn đã đưa ra, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a. Chứng minh tam giác IAC = tam giác IDB.

Ta có các điểm như sau:

- \( I \) là trung điểm của \( BC \) => \( BI = IC \).
- \( ID = IA \) (theo giả thiết).
- Góc \( AIB = AIC \) (sử dụng tính chất của tam giác).

Từ các thông tin trên, ta có thể chứng minh hai tam giác như sau:
- Trong tam giác \( IAC \) và \( IDB \), ta có:
- \( AI = ID \) (theo giả thiết),
- \( BI = IC \) (I là trung điểm),
- \( \angle AIB = \angle DIB \) (do cùng một góc tại điểm I).

Vậy theo tiêu đề tam giác, ta có:
\[
\Delta IAC \cong \Delta IDB
\]

### b. Chứng minh I là trung điểm của MN.

Ta có \( AM \perp BC \) và \( DN \perp BC \).

Xét các tam giác vuông \( AMB \) và \( DNB \):
- Từ tam giác vuông, chúng ta có \( IM = \frac{BI}{2} \) và \( IN = \frac{CI}{2} \).
- Bởi vì \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên ta có
\[
BM = CN
\]

Từ đó, suy ra:
- \( IN = IM \).

Do đó, \( I \) là trung điểm của \( MN \).

### c. Chứng minh P, N, D thẳng hàng.

Tia \( AM \) cắt \( BD \) tại \( Q \), tia \( QI \) cắt \( AC \) tại \( P \).

Để chứng minh \( P, N, D \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng hai tam giác đã chứng minh ở phần a.

Từ câu a, ta biết hai tam giác \( \Delta IAC \cong \Delta IDB \).

Sử dụng tỉ lệ của hai tam giác, ta thấy rằng
\[
\frac{PI}{ID} = \frac{AI}{BI} = \frac{AN}{BN}
\]
Vậy theo tỉ lệ này cùng với góc chung \( \angle AID \), ta có:

Nếu \( N \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( P \), tức là \( P, N, D \) collinear; từ đó, ta có thể kết luận rằng
\[
\frac{PN}{PD} = 1
\]

Vậy \( P, N, D \) cùng thẳng hàng.

### Kết luận
Từ các bước phân tích trên, ta đã chứng minh thành công các yêu cầu:
- \( \Delta IAC \cong \Delta IDB \) (đáp án a).
- \( I \) là trung điểm của \( MN \) (đáp án b).
- \( P, N, D \) thẳng hàng (đáp án c).