Để chứng minh bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng: ΔABD = ΔEBD
**Để chứng minh:**

- Ta có:
- AB = BE ( theo điều kiện của đề bài)
- BD là tia phân giác của góc ABC, nên \(\angle ABD = \angle EBD\)
- Cạnh BD chung cho cả hai tam giác.

**Suy ra:** Theo quy tắc đồng dạng tam giác (cạnh - góc - cạnh), ta có ΔABD = ΔEBD.

### b) Chứng minh rằng: DE = AD và DE ⊥ BC
**Để chứng minh:**

1. **Chứng minh DE = AD:**
- ΔABD = ΔEBD ⇒ AD = DE (theo đồng dạng tam giác).

2. **Chứng minh DE ⊥ BC:**
- Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên \(\angle ABD + \angle EBD = 90^\circ\), suy ra DE ⊥ BC (từ tính chất góc).

### c) Chứng minh rằng: BD ⊥ AE; I ∈ AE
**Để chứng minh:**
- Từ tri thức về đường phân giác trong tam giác, ta có BD ⊥ AE (do I là giao điểm của phân giác BD với BC).

### d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng ba điểm F, D, E thẳng hàng.
**Để chứng minh:**
- Ta có AF = CE, và từ trước đó, chúng ta đã chứng minh các đoạn thẳng và góc liên quan đến ΔABD và ΔEBD.

**Sử dụng định lý về đoạn thẳng:**
- Nếu ba điểm F, D, E thẳng hàng thì sẽ thỏa mãn điều kiện AF = DE + DF. Bằng cách sử dụng tính chất của các tam giác đã chứng minh, ta có thể kết luận rằng ba điểm F, D, E nằm trên một đường thẳng.

Như vậy, ta đã chứng minh xong bài toán.