Để chứng minh các tính chất của tam giác và đoạn thẳng trong bài toán đã cho, ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC.

Để chứng minh hai tam giác AMB và AMC bằng nhau, ta cần chứng minh:

1. **AM là cạnh chung.**
2. **∠AMB = ∠AMC.**
3. **MB = MC.**

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên có MB = MC (do tính chất đối xứng của tam giác cân).
Ngoài ra, do AM là đường phân giác của góc BAC và tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có ∠AMB = ∠AMC.

Vậy từ 3 điều trên, ta có:

- AM = AM (cạnh chung),
- MB = MC,
- ∠AMB = ∠AMC.

Vì vậy, theo tiêu chuẩn của tam giác, ta suy ra:

\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC.
\]

### b) Chứng minh AM vuông góc với BC.

Từ chứng minh ở phần a, ứng dụng của định lý đường phân giác trong tam giác có thể cho thấy AM vuông góc với BC.

Khi AM là đường phân giác của góc tại A, và M nằm trên BC, do đó:

\[
\angle AMB + \angle AMC = \angle BAC = 2 \alpha,
\]

Nên:

\[
\angle AMB = \angle AMC = \alpha.
\]

Từ đó, ta có:

\[
\angle AMB + \angle AMC = 90^\circ \Rightarrow AM \perp BC.
\]

### c) Chứng minh tam giác MEF cân.

Ta có ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC. Từ đó, ta có 2 góc:

- ∠MEB = 90° (vì ME ⊥ AB),
- ∠MFC = 90° (vì MF ⊥ AC).

Trong tam giác AMB và tam giác AMC, chúng ta đã chứng minh:

\[
MB = MC.
\]

Vì vậy, ta có ∠MEB = ∠MCF.

Suy ra:

\[
MA = MA,
\]

Nên:

\[
ME = MF.
\]

Do đó, tam giác MEF cân tại M.

### d) Chứng minh CE = AM.

Ta kẻ AX song song với BC (vì AX cùng phía với MC). Do đó, AE = MC.

Xét 2 tam giác AMB và AMC. Từ tính chất của đường phân giác và tam giác:

Khi AX song song với BC, theo định lý đường chéo, các góc AME và AEC sẽ tương ứng:

Góc AME = góc AMC (do đường chéo vuông góc) và AE = MC.

Suy ra CE = AM từ tính chất tam giác là tam giác vuông.

Vậy có:

\[
CE = AM.
\]

### Kết luận:

Đã chứng minh được các phần của bài toán theo yêu cầu, bao gồm sự bằng nhau của các tam giác, tính chất vuông góc của các đoạn thẳng và tính chất của tam giác MEF.