Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 10 (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

y = -x⁴ + 2mx² - 2m + 1 (m tham số)

có đồ thị là (C_m).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

d) Với giá trị nào của m thì (C_m) cắt trục hoành?

c) Xác định để (C_m) có cực đại, cực tiểu.

Lời giải:

a) y' = -4x³ + 4mx = 4x(m - x²)

y' = 0 (1) ⇔ 4x(m - x²) = 0 => x = 0; x² = m

- Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm => hàm số không có cực trị.

- Nếu m > 0 thì phương trình (2) có 3 nghiệm => hàm số có 3 cực trị.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) với trục hoành:

-x⁴ + 2mx² - 2m + 1 = 0 (2)

Đặt x² = t (t ≥ 0) khi đó phương trình (2) tương đương với:

-t² + 2mt - 2m + 1 = 0 (3)

(C_m) cắt trục hoành khi phương trình (2) có nghiệm. Điều này tương đương với phương trình (3) có nghiệm không âm. Có hai trường hợp:

- TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:

- TH2: Phương trình (3) có 2 nghiệm đều không âm:

Kết hợp TH1 và TH2 ta có với mọi m thì đồ thị (C_m) luôn cắt trục hoành.

c) (C_m) có cực đại, cực tiểu khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

⇔ x² = m có 2 nghiệm phân biệt

⇔ m > 0