Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x³ + 3x² + 1 = m/2

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² + 1

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (-2; 5).

- Đồ thị:

    + Giao với Oy: (0; 1).

    + Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

b) Số nghiệm của phương trình x³ + 3x² + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

(Đường thẳng y = m/2 là đường thẳng song song với trục Ox cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng m/2)

Cách làm: Dịch chuyển song song đường thẳng (d) với trục Ox từ trên xuống dưới (hoặc từ dưới lên trên) là dựa vào số giao điểm của (d) và (C) để biện luận.

Ngoài ra, trong khi làm bài, bạn không cần vẽ lại hình, chỉ cần vẽ (d) lên trên đồ thị vừa vẽ là được.

Biện luận: Từ đồ thị ta có:

    + m/2 < 1 ⇔ m < 2: phương trình có 1 nghiệm.

    + m/2 = 1 ⇔ m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.

    + 1 < m/2 < 5 ⇔ 1 < m < 10: phương trình có 3 nghiệm.

    + m/2 > 5 ⇔ m > 10: phương trình có 1 nghiệm số.

Vậy:

    + Nếu m < 2 hoặc m > 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

    + Nếu 2 < m < 10 phương trình có 3 nghiệm.

    + Nếu m = 2 hoặc m= 10 thì phương trình có 2 nghiệm.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

Phương trình đường thẳng AB là:

2.(x - 0) + 1.(y - 1) = 0 (lấy tọa độ B)

=> y = -2x + 1

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu là: y = -2x + 1