1) Chứng minh rằng tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AC (vì AH là đường cao của tam giác ABC nên I là trung điểm của AC).
Ta có: OE là đường phân giác của góc AOC (do OE vuông góc với AC và OE cắt AC tại trung điểm I).
Do đó, góc EOA = 1/2 góc AOC = 1/2 góc ABC.
Tương tự, góc EDA = 1/2 góc ABC.
Vậy, góc EOA = góc EDA.
Do đó, tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn.

2) Chứng minh rằng góc ABH = góc DEA và DE.BC = DC.BM:
Gọi H' là hình chiếu của H lên AB.
Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc ABH = góc ACB.
Vì tam giác ABC có 3 góc nhọn, nên góc ACB < 90°.
Do đó, góc ABH < 90°.
Tương tự, góc ADE < 90°.
Vậy, góc ABH = góc DEA.

Ta có: AB || CE (do AB và CE cùng vuông góc với AC).
Do đó, góc ABD = góc CEA (cùng phía).
Vì tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn, nên góc DEA = góc DCA (cùng cung DE).
Do đó, góc CEA = góc DCA.
Vậy, góc ABD = góc DCA.

Áp dụng định lý hai góc bằng nhau (cùng phía và cùng cung), ta có:
góc ABH = góc DEA và góc ABD = góc DCA.

Từ góc ABH = góc DEA, ta có DE.BC = DC.BM (cùng tỉ lệ giữa các cạnh của hai tam giác tương đồng DEA và DCB).

3) Kéo dài DE cắt BM tại F:
Gọi K là giao điểm của BH và AC.
Vì tam giác ABC có đường cao BH và đường trung tuyến AM, nên BH và AM cắt nhau tại một điểm.
Do đó, F là giao điểm của DE và BM (do DE và AM cắt nhau tại một điểm).

Vì BH và AC là hai đường chéo của tứ giác ABKC, nên K là điểm trung điểm của AC (do BH cắt AC tại I là trung điểm của AC).
Vì K là trung điểm của AC, nên K là điểm cố định.
Vậy, DF luôn đi qua một điểm cố định