Để chứng minh tam giác BHM đồng dạng với tam giác BE, ta cần chứng minh hai tam giác có cùng một góc và tỷ lệ bình đẳng giữa các cạnh tương ứng của chúng.

Ta sẽ chứng minh hai phần riêng này:

Bước 1: Chứng minh góc BHM = góc BEH.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc A = 90 độ.
Góc AHM = 90 - góc BAH (góc giữa đường cao AH và đường BC trong tam giác ABC).
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAH = góc ABC.
Vậy góc AHM = 90 - góc ABC.

Trên một phía khác, góc BEH = góc BEC + góc CEB.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BEC = góc BAC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên góc BAC = 90 - góc ABC.
Vậy góc BEC = 90 - góc ABC.

Do đó, góc AHM = 90 - góc ABC = góc BEC = góc BEH.

Bước 2: Chứng minh tỷ lệ bình đẳng giữa các cạnh tương ứng.
Ta cần chứng minh rằng tỷ lệ BM/BE = BH/BM.

Vì M là trung điểm của BE, nên BM = ME/2.
Vì HD = HA, nên tỷ lệ HD/HA = DH/AH = DH/(DH + HA) = DH/(2DH) = 1/2.

Ta cũng biết rằng tỷ lệ BH/BM = DH/ME = 1/2 (vì DH = HD và BM = ME/2).

Vậy tỷ lệ BM/BE = BH/BM = 1/2.

Kết hợp hai bước trên, ta đã chứng minh được tam giác BHM đồng dạng với tam giác BE.