a, Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, AH vuông góc với AB và AC.

Khi kẻ đường thẳng vuông góc AB tại H, ta được đường thẳng AD. Vì AH vuông góc với AB, nên AD cũng vuông góc với AB.

Tương tự, khi kẻ đường thẳng vuông góc AC tại H, ta được đường thẳng AE. Vì AH vuông góc với AC, nên AE cũng vuông góc với AC.

Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b, Để tứ giác ADHE là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là các cạnh của nó bằng nhau và các góc của nó bằng 90 độ.

Vì ADHE là hình chữ nhật, nên các cạnh AD và AE bằng nhau.

Ta có AH vuông góc với AB và AC, nên góc BAH và góc CAH là góc vuông.

Để tứ giác ADHE là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là góc BAH và góc CAH bằng nhau.

Vậy tam giác ABC cần điều kiện là góc BAH và góc CAH bằng nhau.

c, Ta có AB < AC và AM = AB. Khi đó, ta lấy M trên AC sao cho AM = AB, ta có AM < AC.

Gọi N là trung điểm của BM. Ta cần chứng minh HN là tia phân giác của góc AHC.

Vì N là trung điểm của BM, nên NB = NM.

Vì AM = AB, nên góc ABM = góc AMB.

Vì NB = NM, nên góc NBM = góc NMB.

Vậy ta có góc ABM = góc NBM và góc AMB = góc NMB.

Vì góc ABM = góc NBM và góc AMB = góc NMB, nên ta có hai góc ABM và AMB bằng nhau.

Vì H là giao điểm của đường cao AH và đường thẳng BM, nên góc AHB = góc BHM.

Vậy ta có góc ABM = góc NBM = góc AMB = góc NMB = góc AHB = góc BHM.

Vậy HN là tia phân giác của góc AHC.