a) Ta có M là trung điểm BC nên BM = MC.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Khi đó, ta có AH = AM (vì tam giác ABC vuông tại A).
Vì BM = MC nên ta có BH = CH.
Do đó, tam giác ABH và tam giác ACH là tam giác đều.
Vậy, ta có AH = BH = CH.
Mà D là hình chiếu của M lên AB nên ta có MD vuông góc với AB.
Tương tự, E là hình chiếu của M lên AC nên ta có ME vuông góc với AC.
Do đó, ta có tam giác MDE vuông tại D và E.
Vậy, ta có DE = MD + ME = AM + AM = 2AM.

b) Ta đã chứng minh được DE = AM ở câu a).
Vì DE = AM nên ta có DE // AM.
Mà AM // BC (vì M là trung điểm BC) nên ta có DE // BC.
Vậy, tứ giác BDEM là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của BE và DM.
Ta có tứ giác BDEM là hình bình hành nên BM // DE.
Mà BM // DE nên ta có góc BOM = góc EOM.
Vì BM = MC nên ta có góc BMO = góc MCO.
Do đó, ta có góc BOM = góc MCO.
Vậy, ta có tứ giác BOMC là tứ giác cân.
Mà I là trung điểm EC nên ta có EI = IC.
Vì tứ giác BOMC là tứ giác cân nên ta có BO = OC.
Do đó, ta có tứ giác BOIC là hình bình hành.
Vậy, ta có BO // IC.
Mà O là giao điểm của BE và DM nên ta có góc BOM = góc EOM.
Vậy, ta có góc BOM = góc EOM và BO // IC.
Do đó, ta có tứ giác AOMI là tứ giác hình thang cân.