1) Điểm D là trung điểm của cạnh BC.

Giải thích: Vì tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD cắt cạnh BC tại một điểm E sao cho AE là đường cao của tam giác ABC. Ta có AE là đường cao nên tam giác ABE và tam giác ACE là tam giác vuông tại A. Vì tam giác ADB và tam giác ADC cân tại A nên ta có:

∠BAD = ∠BDA và ∠CAD = ∠CDA

Vì ∠BAD = ∠CAD nên ta có ∠BDA = ∠CDA. Như vậy tam giác ADB và tam giác ADC có cạnh AD chung và hai góc tương ứng bằng nhau nên chúng là hai tam giác cân. Do đó, điểm D là trung điểm của cạnh BC.

2) Điểm đồng qui của đường phân giác AD và hai đường trung tuyến BE, CF là trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải thích: Đường phân giác AD cắt cạnh BC tại điểm E, đường trung tuyến BE cắt cạnh AC tại điểm F. Ta cần chứng minh rằng đường phân giác AD và hai đường trung tuyến BE, CF đồng qui tại một điểm.

Ta biết rằng trọng tâm của một tam giác là trung điểm của các đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Vì vậy, ta cần chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BE và CF.

Ta có:

AG = 2GD (trọng tâm chia cạnh AD thành 2 phần có tỉ lệ 2:1)
BG = 2GE (trọng tâm chia cạnh BE thành 2 phần có tỉ lệ 2:1)
CG = 2GF (trọng tâm chia cạnh CF thành 2 phần có tỉ lệ 2:1)

Vậy trọng tâm G của tam giác ABC là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BE và CF.