1. Ta có:
- MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc MAB và góc MBA là góc vuông.
- Góc MAB và góc MBA đều tiếp xúc với cung cùng nằm trên đường tròn (O; R), nên chúng bằng nhau.
- Vậy góc MAB = góc MBA.
- Do đó, tam giác MAB là tam giác cân tại đỉnh A, nên AM = AB.
- Tương tự, tam giác MAB là tam giác cân tại đỉnh B, nên BM = BA.
- Vậy ta có AM = AB = BM.
- Kết hợp với điều kiện M nằm ngoài đường tròn (O; R), ta có M không thuộc đường tròn (O; R).
- Vậy ta có tứ giác MABO là tứ giác cân.
- Tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn.

2. Ta có:
- Góc MAB và góc MBA là góc vuông (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Góc MAB = góc MBA (vì chúng tiếp xúc với cung cùng nằm trên đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MAB là tam giác cân tại đỉnh A.
- Do đó, AM = AB.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MO.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MB.
- Kết hợp với AM = AB, ta có MA = MB = MO.
- Ta có tứ giác MBCO là tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R), nên ta có góc MCO = góc MBO (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MCO = góc MBO = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MCO là tam giác cân tại đỉnh C.
- Do đó, MC = MO.
- Ta có MA = MO và MC = MO, nên MA.MC = MO^2.
- Ta có tứ giác MCHO là tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R), nên ta có góc MHO = góc MCO (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MHO = góc MCO = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MHO là tam giác cân tại đỉnh H.
- Do đó, MH = MO.
- Ta có MA = MO và MH = MO, nên MA.MH = MO^2.
- Vậy ta có MA.MC = MA.MH = MO^2.
- Ta có MA.MC = MO^2, nên MA.MC = MH.MO.

3. Ta có:
- Tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có góc MAB = góc MBA.
- Ta có góc MAB = góc MBA = góc MBO (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MBO là tam giác cân tại đỉnh O.
- Do đó, MO = MB.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MO.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MB.
- Kết hợp với MA = MO và MO = MB, ta có MA = MO = MB.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có góc MOB = góc MAO (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MOB = góc MAO = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MOB là tam giác cân tại đỉnh O.
- Do đó, MO = MB.
- Ta có tứ giác MOHB là tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R), nên ta có góc MHB = góc MOB (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MHB = góc MOB = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MHB là tam giác cân tại đỉnh H.
- Do đó, MH = MB.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MO.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có MA = MB.
- Kết hợp với MA = MO và MH = MB, ta có MA = MO = MH.
- Ta có tứ giác MABO là tứ giác cân, nên ta có góc MOB = góc MAO (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MOB = góc MAO = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MOB là tam giác cân tại đỉnh O.
- Do đó, MO = MB.
- Ta có tứ giác MOHB là tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R), nên ta có góc MOH = góc MOB (cùng nằm trên cùng một cung MO).
- Ta có góc MOH = góc MOB = góc MBA (vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R)).
- Vậy tam giác MOH là tam giác cân tại đỉnh H.
- Do đó, OH = OM.
- Ta có IH = OH - OI.
- Ta có OH = OM, nên IH = OM - OI.
- Ta có IO = MO, nên IH = MO - IO.
- Ta có IH = MO - IO = MO - MO = 0.
- Vậy ta có IH = 0.
- Ta có IM = MA = MO, nên IM = MO.
- Ta có OH = OM, nên OH = MO.
- Ta có IH = 0, nên IH = MO - OH.
- Ta có IH = MO - OH = MO - MO = 0.
- Vậy ta có IH = 0 và IM = MO, nên IH . IO = IM . OH.