Cho tam giác ABC nhọn có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H nội tiếp đường tròn tâm O gọi I là trung điểm của BC, kẻ đường kính AK chứng minh 2OI=AH

Để chứng minh 2OI = AH, ta sẽ sử dụng định lí về trung điểm và đường cao trong tam giác.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AH. Ta cần chứng minh O, I, M thẳng hàng.

Vì I là trung điểm của BC, ta có BI = IC. Vì đường cao BD cắt đường cao CE tại H, ta có BH = HC.

Vì tam giác ABC nhọn, ta có O nằm trên đoạn thẳng BH (đường cao BD) và O nằm trên đoạn thẳng CH (đường cao CE). Vì vậy, ta có OB = OC.

Vì tam giác ABC nhọn, ta có đường cao BD vuông góc với AB và đường cao CE vuông góc với AC. Vì vậy, ta có góc BHC = 90 độ.

Vì BH = HC và OB = OC, ta có tam giác BOC là tam giác cân. Vì vậy, ta có góc BOC = góc BCO.

Vì góc BOC = góc BCO và OB = OC, ta có tam giác BOC là tam giác đều.

Vì tam giác BOC là tam giác đều, ta có OI là đường trung trực của BC. Vì vậy, ta có OI vuông góc với BC.

Vì OI vuông góc với BC và M là trung điểm của AH, ta có OI || MH.

Vì OI || MH và O, I, M đều nằm trên đường tròn tâm O, ta có O, I, M thẳng hàng.

Vì O, I, M thẳng hàng, ta có 2OM = OI + IM.

Vì OI = IM (vì I là trung điểm của BC), ta có 2OM = 2OI.

Vì M là trung điểm của AH, ta có 2OM = AH.

Vậy, ta đã chứng minh được 2OI = AH.