a) Xét ΔABH và ΔCAH có

AHB=CHA(=900)

ABH=CAH(cùng phụ với ^BAH)

Do đó: ΔABH∼ΔCAH(g-g)

b) Ta có: ΔABH∼ΔCAH(cmt)

⇒CAAB​=AHBH​(1)

Ta có: 2AM=2AH​(M là trung điểm của AH)

2BN=2BH​(N là trung điểm của BH)

Do đó: AMBN​=2AH​2BH​​=2BH​⋅AH2​=AHBH​(2)

Từ (1) và (2) suy ra CAAB​=AMBN​

Xét ΔABN và ΔCAM có

CAAB​=AMBN​(cmt)

ABN=CAM(cùng phụ với ^HAB)

Do đó: ΔABN∼ΔCAM(c-g-c)

c) Xét ΔHAB có

M là trung điểm của AH(gt)

N là trung điểm của BH(gt)

Do đó: NM là đường trung bình của ΔHAB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒NM//AB và 2NM=2AB​(định lí 2 đường trung bình của tam giác)

Ta có: NM//AB(cmt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: NM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔANC có

AH là đường cao ứng với cạnh CN(AH⊥BC, N∈BC)

NM là đường cao ứng với cạnh AC(NM⊥AC)

AH∩∩NM={M}

Do đó: M là trực tâm của ΔANC(tính chất trọng tâm của tam giác)

⇒CM⊥AN(đpcm)