Để chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp, ta cần chứng minh tứ giác BMHC nội tiếp. Ta có:

Gọi I là trung điểm của BC, ta có: AI song song với MN (vì là đường cao của tam giác ABC).

Do đó, ta có: $\angle BHC = \angle BIC = 90^\circ$ (do tứ giác BMIC nội tiếp).

Vậy tứ giác BMHC nội tiếp, từ đó suy ra tứ giác AMHN nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp, ta cũng sử dụng định lí trên: tứ giác BNMC nội tiếp vì $\angle BNC = \angle BMC = 90^\circ$.

Từ đó, ta có: $\angle CBM = \angle CNM$ và $\angle ANM = \angle ACB$.

Để chứng minh $AM \cdot AC = AN \cdot AB$, ta có thể sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AMNC:

$AM \cdot CN + AN \cdot MC = AC \cdot MN$

Vì $CN = MC$ (vì đề bài cho tam giác ABC nhọn), nên ta có: $AM \cdot CN + AN \cdot CN = AC \cdot MN$

Suy ra: $CN \cdot (AM + AN) = AC \cdot MN$

Vì $AM + AN = AB$ (vì AI song song với MN), nên ta có: $CN \cdot AB = AC \cdot MN$

Do đó, ta đã chứng minh được $AM \cdot AC = AN \cdot AB$.

Cuối cùng, để chứng minh $OA \perp IK$, ta có thể sử dụng định lí về góc nội tiếp:

Vì tứ giác BNMC nội tiếp, nên $\angle BOC = 2\angle BMC = 2\angle BAC$

Vậy ta có: $\angle BOC = 2\angle BAC = \angle BAC + \angle BCA = \angle BAC + \angle BAI = \angle OAI$

Do đó, ta có $OA \perp IK$.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.