a) Ta có:
- $\angle AOB = 90^\circ$ (do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B)
- $\angle AOC = 90^\circ$ (do AC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)
Vậy tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Gọi R là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC. Ta có $OR \perp BC$ và $OR$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC nên $OR$ chính là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó, $OR$ chính là đường cao của tam giác ABC nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC chính là $OR = \frac{AO}{2} = 4$ cm.

b) Gọi D là giao điểm của BD và AC. Ta có:
- $\angle ADB = 90^\circ$ (do AD là đường cao của tam giác AOB)
- $\angle AOB = 90^\circ$
Vậy tứ giác ADOB là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra $\angle ADO = \angle ABO$.
Tương tự, ta có $\angle ACO = \angle ADO$.
Vậy $\angle ABO = \angle ACO$, từ đó ta có CD // OA.

c) Ta có:
- $\angle AFE = \angle AME$ (do AE là tiếp tuyến của đường tròn tại E)
- $\angle AEF = \angle ACM$ (do AC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)
Vậy tam giác AFE và tam giác ACM đồng dạng.
Tương tự, ta có tam giác AEF và tam giác ABM đồng dạng.
Do đó, $\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AM+MB} = \frac{AM}{2AM} = \frac{1}{2}$.
Vậy chu vi của tam giác AFE là $AF + AE + EF = AC + AB + BC = 8 + 8 + 8 = 24$ cm.