Để giải hệ phương trình với các giá trị khác nhau của \( m \), ta sẽ thay \( m \) vào hệ phương trình và giải từng trường hợp.

Hệ phương trình ban đầu là:
\[ x + my = 3 \]
\[ mx + 4y = 6 \]

### Trường hợp 1: \( m = 3 \)

Thay \( m = 3 \) vào hệ phương trình:
\[ x + 3y = 3 \]
\[ 3x + 4y = 6 \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

**Phương pháp thế:**

Từ phương trình \( x + 3y = 3 \), ta có:
\[ x = 3 - 3y \]

Thay \( x = 3 - 3y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 3(3 - 3y) + 4y = 6 \]
\[ 9 - 9y + 4y = 6 \]
\[ 9 - 5y = 6 \]
\[ -5y = -3 \]
\[ y = \frac{3}{5} \]

Thay \( y = \frac{3}{5} \) vào phương trình \( x = 3 - 3y \):
\[ x = 3 - 3 \left(\frac{3}{5}\right) \]
\[ x = 3 - \frac{9}{5} \]
\[ x = \frac{15}{5} - \frac{9}{5} \]
\[ x = \frac{6}{5} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 3 \) là:
\[ x = \frac{6}{5}, \quad y = \frac{3}{5} \]

### Trường hợp 2: \( m = 2 \)

Thay \( m = 2 \) vào hệ phương trình:
\[ x + 2y = 3 \]
\[ 2x + 4y = 6 \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

**Phương pháp cộng đại số:**

Nhân phương trình thứ nhất với 2:
\[ 2(x + 2y) = 2 \cdot 3 \]
\[ 2x + 4y = 6 \]

Ta thấy rằng phương trình thứ hai cũng là \( 2x + 4y = 6 \), tức là hai phương trình này là một và giống nhau. Điều này có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm.

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:
\[ x + 2y = 3 \]

Chọn \( y = t \) (với \( t \) là một số thực bất kỳ), ta có:
\[ x = 3 - 2t \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 2 \) là:
\[ x = 3 - 2t, \quad y = t \]
với \( t \) là một số thực bất kỳ.