Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có I; J theo thứ tự là trung điểm của A'B'; DD'. Xác định giao tuyến của (CIJ) với các mặt hình lập phương

Để xác định giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với các mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D', chúng ta cần làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
Giả sử hình lập phương có cạnh là \(a\) và các đỉnh có tọa độ như sau:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(a, 0, 0)\)
- \(C(a, a, 0)\)
- \(D(0, a, 0)\)
- \(A'(0, 0, a)\)
- \(B'(a, 0, a)\)
- \(C'(a, a, a)\)
- \(D'(0, a, a)\)

2. **Xác định tọa độ các điểm I và J:**
- \(I\) là trung điểm của \(A'B'\), nên tọa độ của \(I\) là \(\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)\).
- \(J\) là trung điểm của \(DD'\), nên tọa độ của \(J\) là \(\left(0, a, \frac{a}{2}\right)\).

3. **Viết phương trình mặt phẳng (CIJ):**
- Điểm \(C\) có tọa độ \((a, a, 0)\).
- Điểm \(I\) có tọa độ \(\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)\).
- Điểm \(J\) có tọa độ \(\left(0, a, \frac{a}{2}\right)\).

Ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm này. Sử dụng phương pháp xác định mặt phẳng từ 3 điểm, ta có:

\[
\begin{vmatrix}
x - a & y - a & z \\
\frac{a}{2} - a & 0 - a & a \\
0 - a & a - a & \frac{a}{2}
\end{vmatrix} = 0
\]

Giải định thức này, ta có phương trình mặt phẳng:

\[
\left| \begin{array}{ccc}
x - a & y - a & z \\
-\frac{a}{2} & -a & a \\
-a & 0 & \frac{a}{2}
\end{array} \right| = 0
\]

Tính định thức:

\[
(x - a) \left( -a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a \right) - (y - a) \left( -\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - a \cdot a \right) + z \left( -\frac{a}{2} \cdot 0 - (-a) \cdot (-a) \right) = 0
\]

\[
(x - a) \left( -\frac{a^2}{2} \right) - (y - a) \left( -\frac{a^2}{4} - a^2 \right) + z \left( -a^2 \right) = 0
\]

\[
-\frac{a^2}{2}(x - a) + \left( \frac{5a^2}{4} \right)(y - a) - a^2 z = 0
\]

Chia cả hai vế cho \(a^2\):

\[
-\frac{1}{2}(x - a) + \frac{5}{4}(y - a) - z = 0
\]

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} + \frac{5}{4}y - \frac{5a}{4} - z = 0
\]

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}y - z = \frac{3a}{4}
\]

Vậy phương trình mặt phẳng (CIJ) là:

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}y - z = \frac{3a}{4}
\]

4. **Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với các mặt của hình lập phương:**
- Với mặt phẳng \(z = 0\) (mặt đáy ABCD):

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}y = \frac{3a}{4}
\]

\[
-2x + 5y = 3a
\]

\[
5y = 2x + 3a
\]

\[
y = \frac{2}{5}x + \frac{3a}{5}
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt đáy ABCD.

- Với mặt phẳng \(z = a\) (mặt trên A'B'C'D'):

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}y - a = \frac{3a}{4}
\]

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}y = \frac{7a}{4}
\]

\[
-2x + 5y = 7a
\]

\[
5y = 2x + 7a
\]

\[
y = \frac{2}{5}x + \frac{7a}{5}
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt trên A'B'C'D'.

- Với mặt phẳng \(x = 0\) (mặt ADDA'):

\[
\frac{5}{4}y - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
5y - 4z = 3a
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt ADDA'.

- Với mặt phẳng \(x = a\) (mặt BCC'B'):

\[
-\frac{1}{2}a + \frac{5}{4}y - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
-\frac{a}{2} + \frac{5}{4}y - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
\frac{5}{4}y - z = \frac{5a}{4}
\]

\[
5y - 4z = 5a
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt BCC'B'.

- Với mặt phẳng \(y = 0\) (mặt ABB'A'):

\[
-\frac{1}{2}x - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
-x - 2z = 3a
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt ABB'A'.

- Với mặt phẳng \(y = a\) (mặt DCC'D'):

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5a}{4} - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
-\frac{1}{2}x + \frac{5a}{4} - z = \frac{3a}{4}
\]

\[
-\frac{1}{2}x - z = -\frac{2a}{4}
\]

\[
-\frac{1}{2}x - z = -\frac{a}{2}
\]

\[
-x - 2z = -a
\]

\[
x + 2z = a
\]

Đây là phương trình giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với mặt DCC'D'.

Như vậy, chúng ta đã xác định được giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) với các mặt của hình lập phương.