Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh OA vuông góc BC:**

- Gọi \( R \) là bán kính đường tròn \( (O) \).
- Vì \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( B \), nên \( OB \perp AB \).
- Ta có \( AC = AB \) (theo giả thiết).
- Xét tam giác \( OAB \) và tam giác \( OAC \):
- \( OA \) là cạnh chung.
- \( OB = OC = R \) (bán kính đường tròn).
- \( AB = AC \) (theo giả thiết).
- Do đó, tam giác \( OAB \) và tam giác \( OAC \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).
- Suy ra \( \angle OAB = \angle OAC \).
- Vì \( OB \perp AB \), nên \( \angle OAB = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle OAC = 90^\circ \).
- Vậy \( OA \perp BC \).

**b) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O):**

- Để chứng minh \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( C \), ta cần chứng minh \( OC \perp AC \).
- Từ phần a), ta đã chứng minh \( \angle OAC = 90^\circ \).
- Do đó, \( OC \perp AC \).
- Vậy \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( C \).

**c) Chứng minh rằng: \( OH \cdot HA = HD \cdot HE \):**

- Gọi \( D \) và \( E \) là giao điểm của \( OA \) với đường tròn \( (O) \), trong đó \( D \) nằm giữa \( O \) và \( A \).
- Gọi \( H \) là giao điểm của \( OA \) với \( BC \).
- Ta có \( OA \perp BC \) (theo phần a)).
- Do đó, \( H \) là chân đường cao từ \( O \) xuống \( BC \).
- Theo định lý đường kính và dây cung trong đường tròn, ta có:
- \( OH \) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( OBC \).
- \( HD \cdot HE = OH \cdot HA \) (theo định lý đường kính và dây cung).
- Vậy \( OH \cdot HA = HD \cdot HE \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.