Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{12}}{a_3 + a_{10} + a_{15}} < 5\), ta có thể sử dụng các tính chất của dãy số tăng dần và bất đẳng thức.

Giả sử \(0 < a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_{15}\). Vì dãy số này là dãy số tăng dần, ta có:
\[a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_{15}\]

Xét tử số của biểu thức:
\[a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{12}\]

Vì \(a_i\) là dãy số tăng dần, nên:
\[a_1 < a_3\]
\[a_2 < a_3\]
\[a_4 < a_{10}\]
\[a_5 < a_{10}\]
\[a_6 < a_{10}\]
\[a_7 < a_{10}\]
\[a_8 < a_{10}\]
\[a_9 < a_{10}\]
\[a_{11} < a_{15}\]
\[a_{12} < a_{15}\]

Do đó:
\[a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{12} < 3a_3 + 7a_{10} + 2a_{15}\]

Xét mẫu số của biểu thức:
\[a_3 + a_{10} + a_{15}\]

Do đó, ta có:
\[\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{12}}{a_3 + a_{10} + a_{15}} < \frac{3a_3 + 7a_{10} + 2a_{15}}{a_3 + a_{10} + a_{15}}\]

Ta cần chứng minh rằng:
\[\frac{3a_3 + 7a_{10} + 2a_{15}}{a_3 + a_{10} + a_{15}} < 5\]

Xét biểu thức:
\[3a_3 + 7a_{10} + 2a_{15} < 5(a_3 + a_{10} + a_{15})\]

Tương đương với:
\[3a_3 + 7a_{10} + 2a_{15} < 5a_3 + 5a_{10} + 5a_{15}\]

Rút gọn ta được:
\[0 < 2a_3 - 2a_{10} + 3a_{10} - 3a_{15}\]

Điều này luôn đúng vì \(a_3 < a_{10}\) và \(a_{10} < a_{15}\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{12}}{a_3 + a_{10} + a_{15}} < 5\]