Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = 2y \), ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
x - my = 1 \\
mx - y = 3
\end{cases}
\]

Giả sử \( x = 2y \), ta thay \( x = 2y \) vào cả hai phương trình của hệ:

1. Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
2y - my = 1 \implies (2 - m)y = 1 \implies y = \frac{1}{2 - m}
\]

2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
m(2y) - y = 3 \implies (2m - 1)y = 3 \implies y = \frac{3}{2m - 1}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = 2y \), giá trị của \( y \) từ hai phương trình trên phải bằng nhau:
\[
\frac{1}{2 - m} = \frac{3}{2m - 1}
\]

Giải phương trình này để tìm \( m \):

Nhân chéo:
\[
(2 - m) \cdot 3 = 1 \cdot (2m - 1) \implies 6 - 3m = 2m - 1
\]

Chuyển các hạng tử chứa \( m \) về một vế:
\[
6 + 1 = 2m + 3m \implies 7 = 5m \implies m = \frac{7}{5}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = 2y \) là \( m = \frac{7}{5} \).