Cho Tam giác ABC vuông tại A. Đường trung tuyến AM.Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho AM =AD . Gọi K là trung điểm AC, E là trung điểm AB. Chứng minh E,N,C thẳng hàng

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Đường trung tuyến \( AM \). Trên tia đối của tia \( MA \) lấy điểm \( D \) sao cho \( AM = AD \). Gọi \( K \) là trung điểm \( AC \), \( E \) là trung điểm \( AB \). Chứng minh \( E, N, C \) thẳng hàng.

Để chứng minh \( E, N, C \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và các định lý liên quan đến tam giác vuông và đường trung tuyến.

1. **Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), đường trung tuyến \( AM \) từ đỉnh góc vuông \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh huyền \( BC \) có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền \( BC \). Do đó, \( AM = \frac{1}{2} BC \).

2. **Tính chất của điểm \( D \):**
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( MA \) và \( AD = AM \). Do đó, \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \).

3. **Tính chất của các trung điểm \( K \) và \( E \):**
- \( K \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AK = KC \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AE = EB \).

4. **Chứng minh \( E, N, C \) thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( ABD \) với \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \).
- Ta có \( AM = AD \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M \) cũng là trung điểm của \( BD \).
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( M \) là trung điểm của \( BD \), nên \( EM \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), do đó \( EM \parallel AD \).

5. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Vì \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \), nên \( AD \) là đường thẳng đi qua \( A \) và \( D \).
- Do đó, \( EM \parallel AD \) và \( EM \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \).

6. **Suy ra \( E, N, C \) thẳng hàng:**
- Vì \( EM \parallel AD \) và \( AD \) đi qua \( D \), nên \( E, M, D \) thẳng hàng.
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( M \) nằm trên đường thẳng \( BC \).
- Do đó, \( E, M, C \) thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( E, N, C \) thẳng hàng.