Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM và CN, tia đối của MB lấy E sao cho ME = MB. Gọi F là giao điểm của AE, CN

Cho tam giác \(ABC\) với \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(AB\). Đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\) (trọng tâm của tam giác \(ABC\)). Tia đối của \(MB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(ME = MB\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và \(CN\).

### a) Chứng minh \(AE \parallel BC\)

Để chứng minh \(AE \parallel BC\), ta cần chứng minh rằng \(AE\) và \(BC\) có cùng hướng hoặc tỷ lệ các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AM = MC\).
- Tia đối của \(MB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(ME = MB\), tức là \(E\) nằm trên đường thẳng kéo dài của \(MB\) về phía ngược lại và \(ME = MB\).

Do đó, \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(M\). Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(E\) cũng là điểm đối xứng của \(B\) qua \(M\).

- Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(EMB\):
- \(AM = ME\) (do \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(ME = MB\)).
- \(MB = MB\) (chung cạnh).
- Góc \(AMB = \angle EMB\) (đối đỉnh).

Do đó, tam giác \(AMB\) và tam giác \(EMB\) là hai tam giác bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(M\), tức là \(AE\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) kéo dài qua \(M\).

Do đó, \(AE\) song song với \(BC\) vì \(AE\) là đường trung tuyến kéo dài qua \(M\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\).

### b) Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(EF\)

Để chứng minh \(A\) là trung điểm của \(EF\), ta cần chứng minh rằng \(A\) chia đoạn thẳng \(EF\) thành hai đoạn bằng nhau.

- Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và \(CN\).
- Vì \(AE \parallel BC\) (theo phần a), nên \(AE\) và \(BC\) là hai đường thẳng song song.

Xét tam giác \(ABC\) với \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(AB\). Đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\) (trọng tâm của tam giác \(ABC\)).

- Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), nên \(G\) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần theo tỷ lệ \(2:1\), tức là \(BG = 2GM\) và \(CG = 2GN\).

- Do \(AE \parallel BC\), nên tam giác \(AEF\) và tam giác \(BCF\) là hai tam giác đồng dạng.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(M\), nên \(A\) là trung điểm của \(EF\).

Do đó, \(A\) là trung điểm của \(EF\).