Bài toán này yêu cầu giải quyết các vấn đề liên quan đến tam giác và các đường thẳng song song. Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần:

a) Tính độ dài EC:
- Ta có tam giác ABC với D thuộc cạnh AB và DE song song với BC.
- Theo định lý Talet, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
- Biết AD = 3 cm, BD = 2 cm, AC = 7,5 cm, ta tính được:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{3}{2}
\]
- Gọi AE = x và EC = y, ta có:
\[
x + y = 7,5 \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{(2)}
\]
- Từ (2), ta có:
\[
x = \frac{3}{2}y
\]
- Thay vào (1):
\[
\frac{3}{2}y + y = 7,5
\]
\[
\frac{5}{2}y = 7,5
\]
\[
y = 3
\]
- Vậy độ dài EC là 3 cm.

b) Chứng minh \( DA \cdot EG = DB \cdot DE \):
- Ta có DE song song với BC và CG song song với AB.
- Sử dụng định lý Talet, ta có:
\[
\frac{DA}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{DE}{EG}
\]
- Từ đó suy ra:
\[
DA \cdot EG = DB \cdot DE
\]

c) Chứng minh \( HC^2 = HE \cdot HA \):
- Gọi H là giao điểm của BG và AC.
- Ta có DE song song với BC và CG song song với AB.
- Sử dụng định lý Talet, ta có:
\[
\frac{HE}{HA} = \frac{DE}{DB}
\]
- Từ đó suy ra:
\[
HE \cdot HA = HC^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.