Để tìm giá trị của \( a \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm \( (x, y) \) với \( x, y \) là số nguyên:

\[
\begin{cases}
(a + 1)x - ay = 5 \\
x + ay = a^2 + 4a
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Trước tiên, từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
x + ay = a^2 + 4a \quad \Rightarrow \quad x = a^2 + 4a - ay
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
(a + 1)(a^2 + 4a - ay) - ay = 5
\]

Mở rộng và đơn giản hóa:

\[
(a + 1)(a^2 + 4a - ay) - ay = a^3 + 4a^2 - a^2y + a^2 + 4a - ay - ay = 5
\]

\[
a^3 + 5a^2 - a^2y + 4a - 2ay = 5
\]

Gộp các hạng tử chứa \( y \):

\[
a^3 + 5a^2 + 4a - y(a^2 + 2a) = 5
\]

Chuyển vế và giải cho \( y \):

\[
y(a^2 + 2a) = a^3 + 5a^2 + 4a - 5
\]

\[
y = \frac{a^3 + 5a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a}
\]

Để \( y \) là số nguyên, biểu thức \(\frac{a^3 + 5a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a}\) phải là số nguyên. Ta sẽ phân tích biểu thức này:

\[
\frac{a^3 + 5a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a} = \frac{a(a^2 + 2a) + 3a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a} = a + \frac{3a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a}
\]

Tiếp tục phân tích:

\[
\frac{3a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a}
\]

Chia đa thức:

\[
\frac{3a^2 + 4a - 5}{a^2 + 2a} = 3 + \frac{-2a - 5}{a^2 + 2a}
\]

Để \(\frac{-2a - 5}{a^2 + 2a}\) là số nguyên, \( a^2 + 2a \) phải chia hết cho \(-2a - 5\). Xét các giá trị của \( a \) thuộc \( \mathbb{Z} \):

- Nếu \( a = -1 \):

\[
\frac{-2(-1) - 5}{(-1)^2 + 2(-1)} = \frac{2 - 5}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3
\]

Vậy \( a = -1 \) thỏa mãn điều kiện.

- Nếu \( a = -3 \):

\[
\frac{-2(-3) - 5}{(-3)^2 + 2(-3)} = \frac{6 - 5}{9 - 6} = \frac{1}{3}
\]

Không thỏa mãn.

- Nếu \( a = 1 \):

\[
\frac{-2(1) - 5}{(1)^2 + 2(1)} = \frac{-2 - 5}{1 + 2} = \frac{-7}{3}
\]

Không thỏa mãn.

- Nếu \( a = 2 \):

\[
\frac{-2(2) - 5}{(2)^2 + 2(2)} = \frac{-4 - 5}{4 + 4} = \frac{-9}{8}
\]

Không thỏa mãn.

Vậy giá trị duy nhất của \( a \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho hệ có nghiệm \( (x, y) \) với \( x, y \) là số nguyên là \( a = -1 \).

Kiểm tra lại với \( a = -1 \):

\[
\begin{cases}
0x + y = 5 \\
x - y = 3
\end{cases}
\]

Giải hệ:

\[
y = 5
\]

\[
x - 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 8
\]

Vậy nghiệm là \( (x, y) = (8, 5) \), thỏa mãn điều kiện \( x, y \) là số nguyên.

Kết luận: Giá trị của \( a \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho hệ có nghiệm \( (x, y) \) với \( x, y \) là số nguyên là \( a = -1 \).