Cho (O;R) và dây AB cách tâm O một khoảng bằng 3cm. Biết số đo của cung AB bằng 120 độ. Tính R?

Để tính bán kính \( R \) của đường tròn \( (O; R) \) khi biết dây \( AB \) cách tâm \( O \) một khoảng bằng 3 cm và số đo của cung \( AB \) bằng 120 độ, ta có thể sử dụng các kiến thức về hình học đường tròn.

1. **Xác định các thông tin đã cho:**
- Khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây \( AB \) là 3 cm.
- Số đo của cung \( AB \) là 120 độ.

2. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Gọi \( M \) là trung điểm của dây \( AB \). Khi đó, \( OM \) vuông góc với \( AB \) và \( OM = 3 \) cm.
- Góc ở tâm \( AOB \) tương ứng với cung \( AB \) là 120 độ.

3. **Xét tam giác \( OMA \):**
- Tam giác \( OMA \) là tam giác vuông tại \( M \).
- \( OA = OB = R \) (bán kính đường tròn).
- \( \angle AOB = 120^\circ \), do đó \( \angle AOM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

4. **Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( OMA \):**
- Trong tam giác vuông \( OMA \), ta có:
\[
\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{OM}{R}
\]
- Biết \( \angle AOM = 60^\circ \) và \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta có:
\[
\frac{OM}{R} = \frac{1}{2}
\]
- Thay \( OM = 3 \) cm vào, ta được:
\[
\frac{3}{R} = \frac{1}{2}
\]
- Giải phương trình này để tìm \( R \):
\[
R = 3 \times 2 = 6 \text{ cm}
\]

Vậy, bán kính \( R \) của đường tròn là 6 cm.