Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

**Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.**

**Giải thích:**
- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
- E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, do đó HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
- Từ đó, ta có:
- \( \angle AHE = 90^\circ \) (vì HE vuông góc với AB)
- \( \angle AHF = 90^\circ \) (vì HF vuông góc với AC)
- \( \angle EHF = 90^\circ \) (vì HE và HF đều vuông góc với AB và AC tương ứng)

Vì tứ giác AEHF có ba góc vuông, nên góc còn lại cũng là góc vuông. Do đó, AEHF là hình chữ nhật.

### Phần b) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với EF, cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BH.

**Chứng minh:**
- Gọi I là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với EF và BC.
- Vì E là hình chiếu của H trên AB, nên HE vuông góc với AB.
- Đường thẳng qua E vuông góc với EF cũng vuông góc với HF (vì EF và HF đều vuông góc với AC).
- Do đó, đường thẳng qua E vuông góc với EF là đường trung trực của đoạn HF.
- Vì H, F nằm trên đường cao AH của tam giác ABC, nên H và F đối xứng nhau qua đường trung trực của HF.
- Do đó, I là trung điểm của BH.

### Phần c) Gọi J là trung điểm của CH. Kẻ đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh rằng AM = IJ.

**Chứng minh:**
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM nối từ A đến M.
- J là trung điểm của CH, nên CJ = JH.
- Trong tam giác vuông ABC, AH là đường cao, chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC.
- Ta có:
- \( AM = \frac{1}{2}BC \) (vì M là trung điểm của BC)
- \( IJ = \frac{1}{2}CH \) (vì J là trung điểm của CH)
- Do đó, \( AM = IJ \).

### Phần d) Chứng minh rằng AM vuông với EF.

**Chứng minh:**
- Ta đã biết rằng AEHF là hình chữ nhật, nên các cạnh của hình chữ nhật này vuông góc với nhau.
- Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM đi qua A và M.
- Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AM từ đỉnh góc vuông A đến trung điểm M của cạnh huyền BC sẽ vuông góc với đường cao AH.
- Vì EF là đoạn thẳng nối từ E đến F trong hình chữ nhật AEHF, và AEHF là hình chữ nhật, nên EF song song với AH.
- Do đó, AM vuông góc với EF.

Vậy là chúng ta đã giải quyết xong tất cả các phần của bài toán.