Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BCD đi qua E

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn ngoại tiếp.

### a) Chứng minh rằng đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BCD đi qua E

Ta có tam giác ABC là tam giác nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

- Xét tứ giác BHCE:
- H là trực tâm của tam giác ABC, do đó \( \angle BHC = 180^\circ - \angle A \).
- Ta có \( \angle BDC = 90^\circ \) (vì BD là đường cao của tam giác ABC).
- Tương tự, \( \angle BEC = 90^\circ \) (vì CE là đường cao của tam giác ABC).

Do đó, ta có:
\[ \angle BDC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Điều này chứng tỏ rằng tứ giác BDEC nội tiếp trong một đường tròn. Do đó, điểm E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

### b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại D, E của đường tròn (O) và đường thẳng AH đồng quy

- Gọi \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
- Gọi \( T \) là giao điểm của các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O).

Ta cần chứng minh rằng \( T \) nằm trên đường thẳng AH.

- Xét tam giác BCD và các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O):
- Tiếp tuyến tại D vuông góc với bán kính OD.
- Tiếp tuyến tại E vuông góc với bán kính OE.

- Do đó, \( \angle ODT = \angle OET = 90^\circ \).

- Xét tam giác HDE:
- H là trực tâm của tam giác ABC, do đó \( \angle HDE = 90^\circ \) và \( \angle HED = 90^\circ \).

- Điều này chứng tỏ rằng \( T \) là trực tâm của tam giác HDE.

- Do đó, \( T \) nằm trên đường thẳng AH.

Vậy, các tiếp tuyến tại D, E của đường tròn (O) và đường thẳng AH đồng quy tại điểm T.