Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Để chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
1. \( x^2 + \sqrt{2} \cdot \left(a + \frac{1}{b}\right)x + \frac{25}{8} = 0 \)
2. \( x^2 + \sqrt{3} \cdot \left(b + \frac{1}{a}\right)x + \frac{75}{16} = 0 \)

với \( a, b > 0 \) và \( a + b \leq 1 \), ta sẽ sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai.

Một phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có nghiệm nếu và chỉ nếu biệt thức \( \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 \).

Xét phương trình thứ nhất:
\[ x^2 + \sqrt{2} \cdot \left(a + \frac{1}{b}\right)x + \frac{25}{8} = 0 \]

Biệt thức của phương trình này là:
\[ \Delta_1 = \left(\sqrt{2} \cdot \left(a + \frac{1}{b}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 - \frac{100}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 - 12.5 \]

Xét phương trình thứ hai:
\[ x^2 + \sqrt{3} \cdot \left(b + \frac{1}{a}\right)x + \frac{75}{16} = 0 \]

Biệt thức của phương trình này là:
\[ \Delta_2 = \left(\sqrt{3} \cdot \left(b + \frac{1}{a}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{75}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - \frac{300}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - 18.75 \]

Để chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm, ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm.

Giả sử cả hai biệt thức đều âm:
\[ 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 < 12.5 \]
\[ \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 < 6.25 \]
\[ a + \frac{1}{b} < \sqrt{6.25} \]
\[ a + \frac{1}{b} < 2.5 \]

Và:
\[ 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 < 18.75 \]
\[ \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 < 6.25 \]
\[ b + \frac{1}{a} < \sqrt{6.25} \]
\[ b + \frac{1}{a} < 2.5 \]

Cộng hai bất đẳng thức trên:
\[ a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} < 5 \]

Do \( a, b > 0 \) và \( a + b \leq 1 \), ta có:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} \geq 4 \]

Do đó:
\[ a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq a + b + 4 \]

Từ \( a + b \leq 1 \), ta có:
\[ a + b + 4 \geq 5 \]

Điều này mâu thuẫn với \( a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} < 5 \). Vậy giả thiết cả hai biệt thức đều âm là sai.

Do đó, ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.