Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp chúng để tìm nghiệm \(x\) và \(y\).

Phương trình (1):
\[ x^2 + y^2 + 3 = 4x \]
\[ x^2 + y^2 = 4x - 3 \quad (3) \]

Phương trình (2):
\[ x^3 + 12x + y^3 = 6x^2 + 9 \]

Thay \( x^2 + y^2 \) từ phương trình (3) vào phương trình (2):
\[ x^3 + 12x + y^3 = 6(4x - 3) + 9 \]
\[ x^3 + 12x + y^3 = 24x - 18 + 9 \]
\[ x^3 + 12x + y^3 = 24x - 9 \]
\[ x^3 + y^3 + 12x = 24x - 9 \]
\[ x^3 + y^3 = 12x - 9 \quad (4) \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ x^2 + y^2 = 4x - 3 \quad (3) \]
\[ x^3 + y^3 = 12x - 9 \quad (4) \]

Ta thử nghiệm một số giá trị của \(x\) và \(y\) để tìm nghiệm của hệ phương trình này.

Giả sử \(x = 3\):
\[ x^2 + y^2 = 4(3) - 3 \]
\[ 9 + y^2 = 12 - 3 \]
\[ 9 + y^2 = 9 \]
\[ y^2 = 0 \]
\[ y = 0 \]

Kiểm tra lại với phương trình (4):
\[ x^3 + y^3 = 12x - 9 \]
\[ 3^3 + 0^3 = 12(3) - 9 \]
\[ 27 = 36 - 9 \]
\[ 27 = 27 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 3 \) và \( y = 0 \).

Nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (3, 0) \]