Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

**a) Tính AC**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, và biết BH = 9 cm, HC = 16 cm.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ BH \cdot HC = AH^2 \]

Tổng độ dài của BH và HC là độ dài của BC:
\[ BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 \, \text{cm} \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Ta cần tính AC, nhưng trước hết ta cần tính AH. Ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC = 9 \cdot 16 = 144 \]
\[ AH = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \]
\[ AB = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm} \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC:
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \]
\[ AC = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm} \]

Vậy, \( AC = 20 \, \text{cm} \).

**b) Chứng minh \(\triangle HAB \sim \triangle HCA\) và từ đó suy ra \( AK \cdot MC = AB \cdot HC \)**

Ta có:
- \(\angle HAB = \angle HCA = 90^\circ\)
- \(\angle BAH = \angle CAH\) (vì là góc chung)

Do đó, \(\triangle HAB \sim \triangle HCA\) (góc - góc).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{HA}{HC} = \frac{AB}{AC} \]

Vì \( K \) là điểm trên tia đối của tia \( BA \) sao cho \( KB = BA \), nên \( AK = 2AB \).

Do đó, ta có:
\[ \frac{HA}{HC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{12}{16} = \frac{15}{20} \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ AK \cdot MC = AB \cdot HC \]

**c) Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( HC \)**

Ta có \( AI \perp KH \) tại \( I \) và \( AI \) cắt \( HC \) tại \( M \).

Do \( \triangle HAB \sim \triangle HCA \), ta có:
\[ \frac{HA}{HC} = \frac{AB}{AC} \]

Vì \( M \) là giao điểm của \( AI \) và \( HC \), và \( AI \perp KH \), nên \( M \) là trung điểm của \( HC \).

Vậy, \( M \) là trung điểm của \( HC \).