Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
\left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{1 + \sqrt{x}} - \sqrt{x} \right) \cdot \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)^2 = 1 \quad \text{với} \quad x \geq 0
\]

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi biểu thức đầu tiên:**

\[
\frac{x\sqrt{x} + 1}{1 + \sqrt{x}} - \sqrt{x}
\]

Ta đặt \( y = \sqrt{x} \), khi đó biểu thức trở thành:

\[
\frac{xy + 1}{1 + y} - y = \frac{y^3 + 1}{1 + y} - y
\]

Ta phân tích tử số của phân số:

\[
y^3 + 1 = (y + 1)(y^2 - y + 1)
\]

Do đó:

\[
\frac{y^3 + 1}{1 + y} = y^2 - y + 1
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
y^2 - y + 1 - y = y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2
\]

2. **Biến đổi biểu thức thứ hai:**

\[
\left( \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)^2
\]

Với \( y = \sqrt{x} \), biểu thức trở thành:

\[
\left( \frac{y^2 - 1}{y + 1} \right)^2 = \left( \frac{(y - 1)(y + 1)}{y + 1} \right)^2 = (y - 1)^2
\]

3. **Kết hợp hai biểu thức:**

\[
(y - 1)^2 \cdot (y - 1)^2 = (y - 1)^4
\]

Vì \( y = \sqrt{x} \), nên \( y \geq 0 \). Khi đó, \( y - 1 \) có thể âm hoặc dương, nhưng khi bình phương lên thì kết quả luôn không âm.

Do đó, ta có:

\[
(y - 1)^4 = 1
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.