Tính số đo cung DE nhỏ, so sánh các cung BD, DE, EC

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các yếu tố trong tam giác và đường tròn:**
- Tam giác \( \Delta ABC \) có \( BC = a \) và \( \angle B = 45^\circ \).
- Đường tròn đường kính \( BC \) cắt cạnh \( AB \) tại \( D \) và cắt cạnh \( AC \) tại \( E \).
- Biết \( EC = \frac{a}{2} \).

2. **Tính số đo cung \( DE \) nhỏ:**
- Vì \( BC \) là đường kính của đường tròn, nên \( \angle BEC \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó \( \angle BEC = 90^\circ \).
- Trong tam giác \( \Delta BEC \), ta có \( EC = \frac{a}{2} \) và \( BC = a \), nên \( BE = \sqrt{BC^2 - EC^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

3. **So sánh các cung \( BD \), \( DE \), \( EC \):**
- Vì \( \angle B = 45^\circ \), nên \( \angle BAC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
- Góc \( \angle BDC \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên \( \angle BDC = 90^\circ \).
- Góc \( \angle BEC = 90^\circ \), do đó cung \( BE \) và cung \( EC \) đều là cung 90 độ.
- Cung \( DE \) nhỏ là cung còn lại trong đường tròn, nên số đo cung \( DE \) nhỏ là \( 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \).

**Kết luận:**
- Số đo cung \( DE \) nhỏ là \( 180^\circ \).
- So sánh các cung: \( BD < DE = EC \).