Để giải các bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định điều kiện xác định (đk xđ) của các biểu thức, sau đó rút gọn chúng.

### Bài 9
\[ A = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x} - 2 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 2 \Rightarrow x \neq 4\)
- \(\sqrt{x} + 2 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -2\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x}\) không âm)
- \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\)

Vậy điều kiện xác định là \(x \neq 4\).

**Rút gọn:**
\[ A = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \]
\[ = \frac{(\sqrt{x} + 2) - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \]
\[ = \frac{2}{x - 4} \]

### Bài 11
\[ A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{5}{\sqrt{x} - 1} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x} + 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -1\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x}\) không âm)
- \(\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\)

Vậy điều kiện xác định là \(x \neq 1\).

**Rút gọn:**
\[ A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{5}{\sqrt{x} - 1} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \]
\[ = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{9}{\sqrt{x} - 1} \]

### Bài 13
\[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{4\sqrt{x} - 4}{2\sqrt{x} + 1} \]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\)
- \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)
- \(2\sqrt{x} + 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -\frac{1}{2}\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x}\) không âm)

Vậy điều kiện xác định là \(x \neq 1\).

**Rút gọn:**
\[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{4\sqrt{x} - 4}{2\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{4(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{4(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \left( \frac{(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{4(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \left( \frac{2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \right) \cdot \frac{4(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \frac{4(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \]
\[ = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \]

### Bài 10
\[ A = \frac{5 - 5\sqrt{x}}{x - 16} + \frac{2}{4 - \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \]

**Điều kiện xác định:**
- \(x - 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq 16\)
- \(4 - \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 16\)
- \(\sqrt{x} + 4 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -4\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x}\) không âm)

Vậy điều kiện xác định là \(x \neq 16\).

**Rút gọn:**
\[ A = \frac{5(1 - \sqrt{x})}{(4 - \sqrt{x})(4 + \sqrt{x})} + \frac{2}{4 - \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \]
\[ = \frac{5(1 - \sqrt{x})}{(4 - \sqrt{x})(4 + \sqrt{x})} + \frac{2}{4 - \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \]
\[ = \frac{5(1 - \sqrt{x})}{(4 - \sqrt{x})(4 + \sqrt{x})} + \frac{2}{4 - \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \]
\[ = \frac{5(1 - \sqrt{x})}{16 - x} + \frac{2}{4 - \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \]

### Bài 12
\[ A = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 3} + \frac{15 - 4\sqrt{x}}{9 - 4x} \]

**Điều kiện xác định:**
- \(2\sqrt{x} - 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq \frac{3}{2} \Rightarrow x \neq \frac{9}{4}\)
- \(2\sqrt{x} + 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -\frac{3}{2}\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x}\) không âm)
- \(9 - 4x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{9}{4}\)

Vậy điều kiện xác định là \(x \neq \frac{9}{4}\).

**Rút gọn:**
\[ A = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 3} + \frac{15 - 4\sqrt{x}}{9 - 4x} \]
\[ = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 3} + \frac{15 - 4\sqrt{x}}{(3 - 2\sqrt{x})(3 + 2\sqrt{x})} \]
\[ = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 3} + \frac{15 - 4\sqrt{x}}{9 - 4x} \]

Vậy các biểu thức đã được rút gọn và điều kiện xác định đã được xác định.