Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học cơ bản và các định lý liên quan.

**a) Chứng minh \( AB \parallel CD \):**

1. **Xét tam giác \( \triangle AIC \):**
- \( I \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AI = IC \).

2. **Xét tam giác \( \triangle BID \):**
- \( D \) nằm trên tia đối của tia \( IB \) và \( IB = ID \), do đó \( I \) là trung điểm của \( BD \).

3. **Xét tam giác \( \triangle AIB \) và \( \triangle CID \):**
- \( AI = IC \) (do \( I \) là trung điểm của \( AC \)).
- \( IB = ID \) (do \( I \) là trung điểm của \( BD \)).
- \( \angle AIB = \angle CID \) (đối đỉnh).

Do đó, \( \triangle AIB \) và \( \triangle CID \) đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

4. **Từ sự đồng dạng này:**
- \( \angle ABI = \angle DCI \).

Vì \( \angle ABI \) và \( \angle DCI \) là hai góc so le trong, nên \( AB \parallel CD \).

**b) Chứng minh \( AK = CH \):**

1. **Xét tam giác \( \triangle AIC \):**
- \( I \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AI = IC \).

2. **Xét tam giác \( \triangle BID \):**
- \( I \) là trung điểm của \( BD \), do đó \( BI = ID \).

3. **Gọi \( H \) là điểm nằm giữa \( B \) và \( C \), \( HI \) cắt \( AD \) tại \( K \).**

4. **Xét tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle CHI \):**
- \( AI = IC \) (do \( I \) là trung điểm của \( AC \)).
- \( ID = IB \) (do \( I \) là trung điểm của \( BD \)).
- \( \angle AID = \angle CHI \) (đối đỉnh).

Do đó, \( \triangle AID \) và \( \triangle CHI \) đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

5. **Từ sự đồng dạng này:**
- \( AK = CH \).

Vậy ta đã chứng minh được \( AB \parallel CD \) và \( AK = CH \).