Cho tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( AB = 3 \text{cm} \), \( AC = 4 \text{cm} \). Ta có thể giải quyết các câu hỏi như sau.

### a. Tính độ dài các đoạn thẳng \( BC \) và \( AH \).

- **Tính độ dài đoạn \( BC \):**

Tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), nên sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

- **Tính độ dài đường cao \( AH \):**

Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

### b. Tính số đo \( \angle B \) và \( \angle C \).

- **Tính số đo \( \angle B \):**

Sử dụng tang của góc \( \angle B \):

\[
\tan \angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}
\]

\[
\angle B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]

- **Tính số đo \( \angle C \):**

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \( 180^\circ \), mà \( \angle A = 90^\circ \), nên:

\[
\angle C = 90^\circ - \angle B
\]

### c. Đường phân giác trong \( \angle A \) cắt \( BC \) tại \( E \). Tính \( BE \) và \( CE \).

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác:

\[
BE = \frac{AB \times BC}{AB + AC} = \frac{3 \times 5}{3 + 4} = \frac{15}{7}
\]

\[
CE = \frac{AC \times BC}{AB + AC} = \frac{4 \times 5}{3 + 4} = \frac{20}{7}
\]

Như vậy:
- \( BC = 5 \text{ cm} \)
- \( AH = 2.4 \text{ cm} \)
- \( \angle B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \)
- \( \angle C = 90^\circ - \angle B \)
- \( BE = \frac{15}{7} \text{ cm} \)
- \( CE = \frac{20}{7} \text{ cm} \)