Để tính giá trị của đa thức \( P(x, y) = 3x^4 + 5x^2y^2 + 2y^4 + 2y^2 \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 2 \), chúng ta có thể thay đổi biến.

Gọi \( a = x^2 \) và \( b = y^2 \). Khi đó, theo điều kiện đã cho, ta có:

\[
a + b = 2
\]

Điều này có nghĩa là \( b = 2 - a \). Ta có thể viết lại \( P(x, y) \) theo biến \( a \) và \( b \):

\[
P(x, y) = 3a^2 + 5ab + 2b^2 + 2b
\]

Chúng ta thay \( b = 2 - a \) vào biểu thức:

\[
P(x, y) = 3a^2 + 5a(2 - a) + 2(2 - a)^2 + 2(2 - a)
\]

Bây giờ, ta sẽ tính từng phần:

1. \( 3a^2 \)
2. \( 5a(2 - a) = 10a - 5a^2 \)
3. \( 2(2 - a)^2 = 2(4 - 4a + a^2) = 8 - 8a + 2a^2 \)
4. \( 2(2 - a) = 4 - 2a \)

Ghép lại tất cả các phần:

\[
P(x, y) = 3a^2 + (10a - 5a^2) + (8 - 8a + 2a^2) + (4 - 2a)
\]

Gom nhóm các hạng tử lại:

\[
P(x, y) = (3a^2 - 5a^2 + 2a^2) + (10a - 8a - 2a) + (8 + 4)
\]

\[
P(x, y) = 0a^2 + 0a + 12 = 12
\]

Vậy giá trị của đa thức \( P(x, y) \) khi \( x^2 + y^2 = 2 \) là:

\[
\boxed{12}
\]