Để xác định hai tam giác ABC và AMNP có bằng nhau theo trường hợp nào, ta phân tích như sau:

1. **Từ giả thiết:**
- \( AB \perp BC \) cho thấy tam giác ABC có một góc vuông tại A.
- \( MP \perp MN \) cho thấy tam giác AMNP cũng có một góc vuông tại M.
- \( AC = MN \) và \( C = N \).

2. **Phân tích các cạnh và góc:**
- Gọi \( AB \) là cạnh góc vuông của tam giác ABC.
- \( AC \) là cạnh huyền.
- Như vậy, \( AM \) là cạnh tương ứng trong tam giác AMNP và \( AC = MN \) tương ứng với cạnh huyền của tam giác ABC.
- Ta cũng đã xác định rằng \( C = N \) và các góc vuông tại A và M.

3. **Sử dụng thông tin trên để so sánh:**
- Tam giác ABC có các cạnh: \( AC \), \( AB \), \( BC \) và có góc vuông.
- Tam giác AMNP có các cạnh: \( AM \), \( MN \), \( MP \) và cũng có góc vuông.

4. **Xác định tính bằng nhau:**
- Ta có \( AC = MN \) (cạnh huyền), và các cạnh vuông góc \( AB \) và \( MP \).
- Mỗi tam giác có một cạnh huyền và hai cạnh góc vuông tương ứng.

=> Do đó, hai tam giác ABC và AMNP sẽ bằng nhau theo trường hợp “cạnh huyền - cạnh góc vuông”.

**Kết luận:** Đáp án đúng cho câu hỏi là **B. cạnh huyền - cạnh góc vuông.**