Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \) dưới điều kiện \( a + b + c = 1 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức AM-GM.

### Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]

Thay \( a + b + c = 1 \) vào, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geq 1^2
\]

Từ đó suy ra:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}
\]

### Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Vì \( a + b + c = 1 \), suy ra:

\[
\frac{1}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức \( a + b + c \):

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 \geq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}
\]

Suy ra:

\[
\frac{1}{9} \geq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}
\]

Từ đây, điều này không cần, vì cách trên đã hoàn tất chứng minh.

Kết luận, ta thấy rằng \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \) là đúng theo điều kiện \( a + b + c = 1 \).