Để tìm số \( m \) lớn nhất sao cho bất đẳng thức

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 + 2x + 2 \geq m
\]

trở thành mệnh đề đúng, ta cần phân tích hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 2 \).

Đầu tiên, ta tính giá trị cực tiểu của hàm bậc 2 này bằng cách dùng công thức:

\[
x_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1.
\]

Tiếp theo, chúng ta tính giá trị của hàm tại \( x = -1 \):

\[
f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1.
\]

Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số \( f(x) \) là 1. Để bất đẳng thức luôn đúng với mọi \( x \), ta có:

\[
m \leq 1.
\]

Do đó, số \( m \) lớn nhất để bất đẳng thức trở thành mệnh đề đúng là

\[
\boxed{1}.
\]