Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu:

**Bài 1:**

Cho tứ giác \( ABCD \) có \( \angle DAB = \angle BCD \) và \( \angle ABC = \angle CDA \) kẻ tia \( Ax \) là tia đối của tia \( AB \).

a) Chứng minh \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \):

- Ta có \( \angle DAB = \angle BCD \) và \( \angle ABC = \angle CDA \).
- Theo giả thiết, ta có \( \angle ABC + \angle DAB = \angle CDA + \angle BCD \).
- Bởi vì \( \angle CDA + \angle BCD = 180^\circ \) (do là hai góc đối đỉnh), nên \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \).

b) Chứng minh \( xAD = ABC; AD \parallel BC \):

- Ta có \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \), nên \( AD \) song song với \( BC \).
- Vì \( AD \parallel BC \) và \( AB \) cắt chúng, áp dụng định lý góc so le trong dẫn đến \( xAD = ABC \).

c) Chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành:

- Với \( AD \parallel BC \) và \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \), theo định nghĩa hình bình hành, \( ABCD \) là hình bình hành.

**Bài 2:**

Cho tam giác \( ABC \) có hai đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \) cắt nhau tại \( G \). Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( GB \) và \( GC \). Chứng minh tứ giác \( PQMN \) là hình bình hành.

- Ta có \( G \) là trung điểm của \( MN \), do đó cả hai cạnh \( PQ \) và \( MN \) đều song song và bằng nhau.
- Ta áp dụng định nghĩa hình bình hành, nếu hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song thì tứ giác đó là hình bình hành.

Từ các chứng minh trên, ta đã có giải quyết cho hai bài toán được yêu cầu.