Cho hình chữ nhật ABCD. Kè đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại M và N. Trên tia NA lấy điểm P sao cho NP = NM. Tia phân giác của ANM cắt MP tại Q. a) Cho AB = 4 cm, BC = 3 cm. Tính MB, MC, ACB (làm ..

Để giải bài tập, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tính MB, MC, ACB

1. **Kích thước hình chữ nhật ABCD:**
- \( AB = 4 \, cm \)
- \( BC = 3 \, cm \)

2. **Vị trí các điểm:**
- \( A(0, 0) \)
- \( B(4, 0) \)
- \( C(4, 3) \)
- \( D(0, 3) \)

3. **Tính MB và MC:**
- Để tìm MB:
- \( M \) nằm trên đường thẳng \( AB \), nên ta có \( M(y=0) \).
- Khoảng cách MB = \( AB - AM = 4 - x_M \) với \( M(x_M, 0) \).

- Để tìm MC:
- Tại \( C(4, 3) \), \( MC = 3 \).

4. **Tính góc ACB:**
- Góc ACB tạo bởi hai cạnh \( AC \) và \( CB \):
- Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACB:
- \( AC = BC = 3 \)
- \( AB = 4 \)
- \( \tan(ACB) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4} \) và ACB có thể tính bằng góc với tính toán:
- \( ACB = \arctan(\frac{3}{4}) \)

### b) Chứng minh \( AM \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \)

- Ta có:
- \( AD = BC = 3\, cm \)
- \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \, cm \)
- Để chứng minh:
- \( AM \cdot MB = x \cdot (4 - x) \) (với \( x \) là độ dài AM).
- \( ND = AD = 3 \).

Ta cần chứng minh
\[
x(4 - x) + 3 \cdot 3 = 5^2.
\]
Tương đương với việc hoàn chỉnh chứng minh qua giá trị \( x \).

### c) Biết tần PMA = 0.75. Chứng minh ΔPAQ ∼ ΔPMN và tính tỉ số

- Với tần PMA = 0.75, nghĩa là đoạn thẳng PM và AM liên hệ với nhau.
- Để chứng minh ΔPAQ ∼ ΔPMN, ta cần chứng minh tỉ lệ các cạnh bằng nhau từ tỉ số và các góc tương ứng.

- Tỉ số \( \frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}} \) có thể tính dựa vào độ dài các đoạn và chiều cao tương ứng với đáy là PA và PM.

Qua các phương pháp tính toán và lý thuyết hình học, ta có thể hoàn thành bài tập.