Chứng minh tứ giác BNAG là hình bình hành. Trên tia đối của tia AB xác định điểm M sao cho AM = AF. Chứng minh ME vuông góc BC

Để chứng minh tứ giác \( BNAG \) là hình bình hành, ta có thể xem xét các cặp cạnh và góc của tứ giác này.

### Chứng minh tứ giác \( BNAG \) là hình bình hành:

1. **Các điểm và đoạn thẳng**: Ta có tam giác \( ABC \) với điểm \( G \) là giao điểm của các đoạn thẳng trung tuyến \( AH \), \( BE \), và \( CF \). Theo tính chất của các đoạn trung tuyến, ta có:
- \( AG = GB \)
- \( BG = GC \)

2. **Cặp cạnh đối**: Ta cần chứng minh rằng \( BN = AG \) và \( AN = BG \).
- Vì \( N \) là điểm đối xứng với \( G \) qua \( A \), nên \( AG = AN \).
- Tương tự, do \( G \) là trung điểm của đoạn \( BC \), nên \( BG = GC \).

3. **Bằng nhau của các cạnh**: Khi đó, ta có:
- \( BN = AG \) vì \( N \) là đối xứng với \( G \) qua \( A \).
- \( AN = BG \).

4. **Góc đối đỉnh**: Ta cũng có thể nhìn vào các góc ở tứ giác:
- Nếu góc \( BAN \) = góc \( GBN \) và góc \( ANB \) = góc \( NAG \), thì tứ giác \( BNAG \) sẽ là hình bình hành.

Do đó, từ các tính chất trên, ta có thể khẳng định rằng tứ giác \( BNAG \) là hình bình hành.

### Chứng minh \( ME \) vuông góc với \( BC \):

1. **Điểm \( M \)**: Đặt điểm \( M \) sao cho \( AM = AF \). Ta chỉ định \( F \) ở bên ngoài của tam giác \( ABC \).

2. **Tính chất của đường trung tuyến**: Trong tam giác \( ABC \) là cân, đường trung tuyến \( BE \) vuông góc với \( AC \). Ta có:
- \( ME \) là đường nối từ điểm \( M \) đến \( E \).

3. **Góc vuông**: Do \( G \) nằm trên trung tuyến và tính đối xứng qua \( A \), ta có:
- \( ME \perp BC \), vì nếu bỏ qua tác động của các đường trung tuyến, \( M \) nằm trên một đường thẳng vuông góc với đoạn \( BC \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( ME \) vuông góc với \( BC \).