Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6,
\]

ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \right) \left( c + a + b \right) \geq (a+b+b+c+c+a)^2.
\]

Rút gọn bên phải:

\[
(a+b+c)^2.
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c.
\]

Để có được bất đẳng thức cần chứng minh, ta chỉ cần chứng minh rằng:

\[
(a+b+c) \geq 6.
\]

Điều này khẳng định rằng từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, sẽ kéo theo:

\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6.
\]

Vì vậy, bất đẳng thức được chứng minh.