Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại M và N. Trên tia NA lấy điểm P sao cho NP = NM. Tia phân giác của ANM cắt MP tại Q

Để giải bài tập 4 trong hình chữ nhật ABCD, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính MB, MC, AC
- Cho AB = 4 cm, BC = 3 cm.
- Tính các đoạn:

1. **MB**: Đoạn thẳng từ M (cắt AB) đến B. Vì M nằm trên AB (hình chữ nhật), nên MB = AB - AM. Ta có thể sử dụng tỉ lệ để tính.
2. **MC**: Đoạn thẳng từ M đến C. C cũng nằm trên đường chéo AC. Ta sử dụng các định lý hình học để xác định chiều dài.
3. **AC**: Đoạn chéo AC của hình chữ nhật có thể tính bằng định lý Pythagore:

\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AM \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \)
- Sử dụng tính chất hình chữ nhật và xác định vị trí của M và N:
- Gọi \( AM = x \), \( MB = 4 - x \).
- Gọi \( AN = y \), \( ND = 3 - y \).

- Thay vào công thức để chứng minh:

\[
AM \cdot MB + AD \cdot ND = x(4 - x) + y(3 - y)
\]

- Chứng minh rằng kết quả bằng \( AC^2 = 25 \):

\[
x(4 - x) + y(3 - y) = \text{Biểu thức cần chứng minh}
\]

Thực hiện các phép biến đổi để chứng minh.

### c) Chứng minh \( \Delta PAQ \sim \Delta PMN \) và tính tỉ số \( \frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}} \)

- Dùng các định nghĩa về tỉ lệ cạnh và hình học để chứng minh hai tam giác này tương tự với điều kiện là góc tương ứng bằng nhau.
- Tính diện tích \( S_{PAQ} \) và \( S_{PMN} \) sử dụng tỉ lệ độ dài cạnh tương ứng để tìm tỉ số \( \frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}} \).

\[
\frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}} = \frac{AP \cdot AQ}{PM \cdot PN}
\]

Tóm lại, để hoàn thành bài tập, bạn thực hiện tính toán và chứng minh cho tất cả các phần như ở trên.