Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a), b) và c):

### a) Chứng minh \(\triangle ABE = \triangle MBE\)

1. **Thông tin đã biết:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB < AC \).
- \( BA = BM \) (điểm \( M \) được chọn trên cạnh \( BC \)).
- \( BE \perp AM \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh bằng nhau:**
- \( AB = MB \) (Theo giả thiết).
- \( BE \) là đường vuông góc với \( AM \).

3. **Chứng minh các cặp góc bằng nhau:**
- Góc \( ABE = \angle MBE \) (góc vuông \( BE \) tại \( E \)).
- Tam giác \( ABE \) và \( MBE \) có một góc (góc \( ABE \) và góc \( MBE \)) bằng nhau và hai cạnh kề (cạnh \( AB \) và cạnh \( MB \) bằng nhau), do đó theo định lý cạnh-cạnh-góc (cạnh-góc-cạnh), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle MBE
\]

### b) Gọi \( N \) là giao điểm của \( BE \) và \( AC \). Chứng minh \( AN = MN \).

1. **Để chứng minh:**
- Xét tam giác \( ABE \) và \( MBE \) như đã chứng minh ở phần a).

2. **Sử dụng tính chất của giao điểm:**
- Do \( N \) là giao điểm, \( BE \) cắt \( AC \) tại \( N \).
- Từ tính chất tam giác đã chứng minh, ta có:
\[
AN = BM
\]
- Mặt khác, vì \( BA = BM \), suy ra \( AN = MN \).

### c) Kẻ đường cao \( AH \) của tam giác \( ABC \). Gọi \( G \) là giao điểm của \( AH \) với \( BN \). Chứng minh \( \angle MGN = \angle ANG \).

1. **Tính chất của các tam giác liên quan:**
- Đường cao \( AH \) vuông góc với cạnh \( BC \).
- \( BN \) cắt \( AH \) tại \( G \).

2. **Chứng minh bằng cách xem xét các tam giác:**
- Góc \( \angle MGN = 90^\circ - \angle ABE \) (góc trong tam giác).
- Góc \( \angle ANG = 90^\circ - \angle ABE \) (bằng góc trong tam giác).

Sau đó, do tính chất của hai góc phụ ở cùng một cạnh (cùng hướng), ta có:
\[
\angle MGN = \angle ANG
\]

Vậy các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.