a) Để chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều, ta sẽ làm như sau:

- Gọi O là tâm của đường tròn có bán kính 3 cm.
- Gọi A là một điểm trên đường tròn, do đó OA = 3 cm.
- Gọi M là trung điểm của đoạn OA. Theo định nghĩa, ta có:
\[
OM = \frac{OA}{2} = \frac{3}{2} \text{ cm}.
\]

- Đường thẳng d vuông góc với OA tại M, tức là d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với OA.

- Vì B và C là hai điểm cắt của đường thẳng d với đường tròn, theo định nghĩa, OB = OC = 3 cm (bán kính của đường tròn).

- Ta cũng có:
- Tam giác OMA là tam giác vuông tại M (vì d vuông góc với OA).
- OM = 1.5 cm, OA = 3 cm.

- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OMA:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2.
\]
Thay vào ta có:
\[
3^2 = (1.5)^2 + AM^2 \Rightarrow 9 = 2.25 + AM^2 \Rightarrow AM^2 = 6.75 \Rightarrow AM = \sqrt{6.75} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm.}
\]

- Như vậy, tất cả các cạnh OA, OB, AC đều bằng 3 cm. Do đó, ta kết luận rằng tam giác OAB là tam giác đều, vì ba cạnh OA, OB và AB đều bằng 3 cm.

b) Để tính độ dài đoạn BC, ta nhận thấy rằng BC là cạnh của tam giác vuông OMB, với O là tâm đường tròn, M là trung điểm của OA và B nằm trên cạnh BC.

- Trong tam giác OMB, chúng ta có:
\[
OB^2 = OM^2 + MB^2.
\]
Ta đã biết OB = 3 cm và OM = 1.5 cm, ta sẽ thay vào công thức trên:
\[
3^2 = (1.5)^2 + MB^2 \Rightarrow 9 = 2.25 + MB^2 \Rightarrow MB^2 = 6.75 \Rightarrow MB = \sqrt{6.75} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm.}
\]

- Do B và C nằm đối diện nhau qua trung điểm M, nên đoạn BC gấp đôi độ dài MB:
\[
BC = 2 \cdot MB = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm.}
\]

Vậy độ dài đoạn BC là \(3\sqrt{3}\) cm.