Để giải bài toán này, chúng ta có thể đặt một số ký hiệu để dễ dàng theo dõi:

- Gọi \( x \) là số sản phẩm mà mỗi tổ công nhân dự kiến sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch.
- Gọi \( n \) là số ngày theo kế hoạch mà tổ công nhân phải hoàn thành sản xuất.

Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất tổng cộng 300 sản phẩm, do đó ta có phương trình sau:

\[
x \cdot n = 300 \quad (1)
\]

Bởi vì tổ công nhân sản xuất nhiều hơn 6 sản phẩm mỗi ngày, năng suất thực tế mỗi ngày sẽ là \( x + 6 \). Với việc hoàn thành trước 5 ngày, số ngày thực tế làm việc sẽ là \( n - 5 \). Ta có:

\[
(x + 6)(n - 5) = 300 \quad (2)
\]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình (1) và (2).

Từ phương trình (1), ta có:

\[
n = \frac{300}{x} \quad (3)
\]

Thay giá trị của \( n \) từ (3) vào phương trình (2):

\[
(x + 6)\left(\frac{300}{x} - 5\right) = 300
\]

Giải phương trình trên:

\[
(x + 6)\left(\frac{300 - 5x}{x}\right) = 300
\]

\[
(x + 6)(300 - 5x) = 300x
\]

Mở rộng và rút gọn:

\[
300x - 5x^2 + 1800 - 30x = 300x
\]

\[
-5x^2 + 1800 - 30x = 0
\]

Ta nhân cả phương trình với -1 (để đưa ra dạng dương):

\[
5x^2 + 30x - 1800 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 5 để đơn giản hóa:

\[
x^2 + 6x - 360 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1440}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{1476}}{2} = \frac{-6 \pm 38.4}{2}
\]

Giải sẽ có 2 nghiệm:

1. \( x \approx \frac{32.4}{2} \approx 16.2 \)
2. \( x \approx \frac{-44.4}{2} \) (không hợp lý vì số sản phẩm không thể âm)

Do đó, chúng ta lấy nghiệm hợp lý:

\[
x \approx 16
\]

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ công nhân phải sản xuất \(\boxed{16}\) sản phẩm.